Diskussion:Satz von der majorisierten Konvergenz

Maßraum nicht Massraum. Auch nach neuer deutscher Rechtschreibung !

Satz falsch?

Irgendwie ist der Satz doch falsch, etwa für $f_{n}(x):=n$ falls x < 1/n, 0 sonst. Denn nun: f = 0, f_n → f mit

$\lim \int _{X}f_{n}=\lim _{X}1=1\neq 0=\int _{X}f$ igel+- 08:08, 8. Sep 2006 (CEST) (auf Raum X=[0,1] igel+- 10:09, 8. Sep 2006 (CEST)

Was ist Dein $g$?--Gunther 08:17, 8. Sep 2006 (CEST)

Ahh, jetzt hab ichs kapiert. Mir schwebte: $g:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ,g(x):=2$ vor, aber $f_{n}$ geht ja über alle Grenzen und ist also nicht majorisierbar. igel+- 10:09, 8. Sep 2006 (CEST)

Kannst es ja gleich in den Artikel schreiben.--Gunther 10:16, 8. Sep 2006 (CEST)

Wurde gerade darüber geprüft. Note: 2,0. Es lief so schlecht, wie es eben laufen konnte. Grummel. Der Prof. weigerte sich, mich durchfallen zu lassen, damit ich wiederkommen kann. GRUMMEL! Vllt. hätte ich bei der Informatik bleiben sollen, da muss man weniger arbeiten, und sich anschließend nicht so saublöde Sprüche bei der Bewertung anhören. Für solche sollte man ihn an einer soliden Laterne aufhängen. igel+- 15:49, 8. Sep 2006 (CEST)

Voraussetzung: Folge $\varphi$ -messbarer Funktionen reicht aus?

Mir ist nicht ganz klar, warum bei der Formulierung in allgemeiner Form von der Folge $(f_{n})$ $\varphi$-integrierbarkeit gefordert wird. Mir scheint es, dass Messbarkeit ausreicht, wie es auch im Artikel Lebesgue-Integral und in der Folgerung für $L_{p}$-Räume in diesem Artikel formuliert wird.

Allerdings wird in meinem Lehrskript auch Integrierbarkeit gefordert, jedoch ohne dass mir die Notwendigkeit aus dem Beweis klar wird. In Rudin's Analysis (Oldenbourg Verlag) wird der Satz auch für messbare Folgen formuliert (2. Auflage, Seite 377, Satz 11.32). --Cappuchino 13:03, 10. Feb. 2009 (CET)

Nur die majorisierende Funktion muss integrierbar sein. Messbare Funktionen, die von einer integrierbaren Funktion majorisiert werden, sind automatisch integrierbar. Ich änder das mal. -- Pberndt _(DS) 14:14, 11. Feb. 2009 (CET)

Änderung vom 11.02.2009

Ich habe die Formulierung des Satzes jetzt verallgemeinert ($f_{n}$ messbar reicht, siehe oben) und an die Formulierung im Elstrodt angenähert. Außerdem habe ich den zweiten Absatz in der Einleitung entfernt, weil der nichts weiter als eine sprachliche Ausformulierung des Satzes im nächsten Kapitel war. -- Pberndt _(DS) 14:41, 11. Feb. 2009 (CET)

Messbarkeit des limes muss nicht gefordert werden

Es ist auch nicht nötig die messbarkeit des Grenzwertes $f$ zu fordern, da dieser als punktweiser Grenzwert messbarer Funktionen automatisch messbar ist. -- Latency 10:38, 13. Dez. 2009 (CET)

Doch, die Messbarkeit des Limes muss gefordert werden, da wir nur punktweise Konvergenz fast überall haben. Und wenn eine messbare Funktion auf einer Nullmenge abgeändert wird, muss sie nicht mehr messbar sein. (Ich glaube, man kann darauf verzichten, wenn man stattdessen die Vollständigkeit des Maßraums fordert - Das scheint mit aber übertrieben, da es im Normalfall kein Problem ist, die Messbarkeit der Grenzfunktion zu sehen, es aber viele unvollständige Maßräume gibt)--Cosine 17:31, 13. Dez. 2009 (CET)

Ich sehe schon ein, dass der Limes auf den Nullmengen nicht eindeutig bestimmt ist, da die punktweise Konvergenz nur fast überall gilt. Und somit $lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}$ auch gegen nicht messbare $f$ konvergieren kann. Aber wenn $f$ nur auf einer Nullmenge nicht messbar ist so müsste man, ohne Einschränkungen in Hinsicht auf den Satz der majorisierten Konvergenz, $f$ auf dieser Nullmenge abändern dürfen so dass $f$ messbar wird z.B. $f(A)=0$. Dadurch würde jede Funktionenfolge einen messbaren Limes besitzen, wodurch die Messbarkeit nicht mehr gefordert werden muss. --Latency 23:13, 13. Dez. 2009 (CET)

Zuerst einmal: Diese Überlegungen sind ziemlich haarspalterisch (auf beiden Seiten), aber im Satz steht im Moment: "Dann ist f integrierbar" und das schließt nun mal messbar mit ein. Wir könnten allerdings einbauen:

"Die Forderung nach der Messbarkeit von f kann weggelassen werden, wenn bekannt ist, dass f überall punktweise konvergiert (und nicht nur fast überall) oder wenn der Maßraum vollständig ist. Falls dies alles nicht zutrifft und f wirklich nicht messbar ist, so ist es allerdings immer möglich f auf einer Nullmenge so abzuändern, dass f messbar wird."

Oder wir könnten "dann ist f integrierbar" ersetzen durch: "dann gibt es ein messbares F, das fast überall mit F übereinstimmt, sodass f_n auch fast überall gegen F konvergiert und F integrierbar ist und..."

Aber das liest sich ein bisschen holprig. Habe ich dich überzeugt, dass es nicht möglich ist, die Messbarkeit von f wegzulassen? --Cosine 13:17, 14. Dez. 2009 (CET)

Ich bin noch nicht ganz überzeugt. Im Buch Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen von Natanson wird der Satz von Lebesgue folgendermaßen angeführt:

Auf einer Menge $E$ sei eine Folge meßbarer Funktionen $f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),\ldots$ definiert, die dem Maß nach gegen eine Funktion $F(x)$ konvergiert. Wenn es eine summierbare Funktion $\Phi (x)$ gibt, so daß für alle n und alle x die Ungleichung

$|f_{n}(n)|\leq \Phi (x)$

gilt, so ist

$\lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}(x)dx=\int F(x)dx.$

Dies ist doch eine weniger starke Forderung als, die im Artikel. Oder habe ich etwas übersehen? --Christian1985 14:15, 14. Dez. 2009 (CET)

Hmmmmm.... Ich würde sagen: Konvergenz dem Maße nach ist nur definiert, wenn die Grenzfunktion auch messbar ist. Ansonsten ergibt die Definition keinen Sinn. Im Gegensatz dazu ist "punktweise Konvergenz fast überall" erstmal halt auch für nicht-messbare Grenzfunktion definiert (Dass dieser Fall in der mathematischen Praxis keine Rolle spielt, ist mir auch klar, ich will nur formal korrekt sein). Das heißt: In dem von dir erwähnten Satz ist die Forderung, dass F messbar ist, hübsch in der Formulierung "dem Maße nach" versteckt. -- Viele Grüße, Cosine 16:20, 14. Dez. 2009 (CET)

Nein das sehe ich anders. aus punktweiser konvergenz fast überall folgt Konverngenz dem Maß nach. Dies ist ein anderer Satz von Lebesgue, in dem oben erwähnten Buch wird er wie folgt formuliert:

Auf einer messbaren Menge $E$ sei eine Folge meßbarer fast überall endlicher Funktionen $f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),\ldots$ definiert, die in fast allen Punkten von $E$ gegen eine fast überall endliche Funktion $f(x)$ konvergiert. Dann gilt für beliebiges $\sigma >0$:

$\lim _{n\to \infty }(\mu \{x\in E|\ |f_{n}(x)-f(x)|\geq \sigma \})=0.$

Grüße --Christian1985 17:20, 14. Dez. 2009 (CET)

Okey ich glaube Du hast Recht. Die Meßbarkeit wurde wahrscheinlich in diesem Buch einfach unterschlagen. Insbesondere würde ja ohne die Messbarkeit der letzte Ausdruck keinen Sinn machen. --Christian1985 17:36, 14. Dez. 2009 (CET)

Freut mich, dass ich dich überzeugen konnte. Viele Grüße, --Cosine 16:30, 15. Dez. 2009 (CET)

Hallo, die Meßbarkeit von $f$ ist in der Tat nicht notwendig. Es gibt dafür zwei mir bekannte Quellen.

1. Das Buch "Lineare Operatoren im Hilbertraum Teil I Grundlagen" von J. Weidmann. Dort wird im Anhang eine kurze Einführung in die Lebesgue-Integration gegeben.

2. Im Kurs Lineare Operatoren im Hilbertraum der FernUniversität Hagen wird ebenfalls die Meßbarkeit nicht gefordert.Jfriedpi (Diskussion) 23:21, 30. Jan. 2014 (CET)

Das erste Buch habe ich nicht zur Hand, aber das Skript zum FernUniHagen-Kurs habe ich mir gerade angeschaut: http://www.fernuni-hagen.de/ANGMATH/kurse/1347/glossar.pdf

Hier wird ein leicht anderer Zugang zur Maßtheorie gewählt. Es werden keine Maßräume im hiesigen Sinne behandelt, sondern nur sogenannte "Maße auf R^n". Jedem solchen "Maß auf R^n" kann man natürlich einen Maßraum im hiesigen Sinne zuordnen, aber diese Maßräume sind dann per Konstruktion immer vollständig. Anders formuliert: Wenn der Maßraum vollständig ist, dann ist die Grenzfunktion automatisch messbar und alle Maßräume, die im FernUni-Hagen-Skript behandelt werden, sind automatisch vollständig.

Es gibt einige Bücher und Kurse, die einen solchen Ansatz verfolgen, der den Vorteil hat, dass man sich um Vollständigkeit des Raumes keine Sorgen machen muss. Dieser hat allerdings dann den Nachteil, dass zwei unterschiedliche "Maße auf R^n" dann nicht auf der selben Sigma-Algebra definiert sind, sondern jedes Maß seine eigene Sigma-Algebra braucht. Aber irgendwas ist halt immer und man kann nicht alles haben... Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 15:08, 3. Feb. 2014 (CET)

Ok, an den speziellen Zugang zu einem Maß habe ich nicht mehr gedacht. Aber ich habe mich jetzt nochmal versichert, dass dies eben im obigen Buch nicht so ist. Dort wird ganz allgemein von Mengenringen und darauf definierten Prämaßen ausgegangen. Wenn das Buch nicht zur Hand ist, so sind doch die entsprechenden Anlagenkapitel bei google books einsehbar. Die Seiten die dann noch fehlen findet man dann bei amazon beim Blick ins Buch! :-) Gruß, Jfriedpi (Diskussion) 20:45, 5. Feb. 2014 (CET)

Ich kann mich täuschen, aber ich halte den Beweis im Buch an dieser Stelle für fehlerhaft: Es wird mit dem Satz von Beppo Levi argumentiert, aber dort wird nur die Existenz einer messbaren (und integrierbaren) Grenzfunktion $f$ gefolgert. Dieses $f$ muss aber doch nicht mit dem vorgegebenen $f$ überstimmen, oder? Die beiden $\mu$-f.ü. Konvergenzen könnten doch verschiedene Ausnahmemengen haben. -- HilberTraum (Diskussion) 21:36, 5. Feb. 2014 (CET)

Ja schon, aber wenn die beiden verschiedenen Ausnahmemengen ($\mu$-Nullmengen) vereinigt werden erhält man wieder eine Ausnahmemenge ($\mu$-Nullmenge). Und die beiden verschiedenen $f$ unterscheiden sich nur noch auf dieser neuen Ausnahmemenge ($\mu$-Nullmenge). Weiter gilt für die Lebesgue-Integration ja bezüglich Äquivalenzklassenbildung bzgl. der $\mu$-Nullmenge, dass alle Funktionen, die sich von einer Integrierbaren Funktion nur durch eine $\mu$-Nullmenge unterscheiden, ebenfalls integrierbar sind und das selbe Integral besitzen. Trotzdem, die Beweise in diesem Buch könnten natürlich ausführlicher sein.Jfriedpi (Diskussion) 18:52, 6. Feb. 2014 (CET)

Ja, du hast recht, wenn man zu Äquivalenzklassen übergeht, dann stellt sich das Problem nicht mehr. Aber davon ist im Artikel (und soweit ich sehe auch im Buch) ja gar keine Rede. Es geht „nur“ um die Integration von Funktionen. -- HilberTraum (Diskussion) 19:39, 6. Feb. 2014 (CET)

Ja, man kann aber den Übergang zu den Aquivalenzklassen nach dem Beweis auch wieder zurücknehmen, so dass dann auch die Version "nur" für Funktionen gilt. Gruß Jfriedpi (Diskussion) 21:48, 6. Feb. 2014 (CET)

Das habe ich nicht ganz verstanden, wieder zurücknehmen? Um mal ein konkretes Beispiel in diese Diskussion einzubringen: Es seien alle $f_{n}\equiv 0$ konstant null sowie $f=\chi _{N}$ die Indikatorfunktion einer nicht messbaren Nullmenge $N$. Dann konvergieren die $f_{n}$ fast überall gegen $f$ und werden majorisiert (durch die Nullfunktion), aber $f$ ist nicht messbar. -- HilberTraum (Diskussion) 07:21, 7. Feb. 2014 (CET)

Nur damit wir nicht aneinander vorbeireden. Meinst Du mit nicht messbare Nullmenge eine Nullmenge die nicht zur $\sigma$-Algebra gehört?Jfriedpi (Diskussion) 20:35, 7. Feb. 2014 (CET)

Ja genau, N liegt nicht in der Sigma-Algebra, aber ist Teilmenge einer Menge mit Maß 0. Das kann es natürlich nur geben, wenn der Maßraum nicht vollständig ist, aber das Thema Vollständigkeit wurde ja weiter oben schon von Cosine angesprochen. -- HilberTraum (Diskussion) 08:24, 8. Feb. 2014 (CET)

Also wir wissen ja, dass alle Funktionen die sich von einer Lebesgue-integrierbaren Funktion nur auf einer Nullmenge unterscheiden ebenfalls Lebesgue-integrierbar sind und sogar das selbe Integral besitzen. Die Nullfunktion ist sicherlich Lebesgue-integrierbar und stimmt bis auf eine Nullmenge mit deinem $f$ überein. Also ist auch dieses $f$ Lebesgue-integrierbar mit dem Integralwert der Nullfunktion nämlich 0.

Die hier verwendete Version der Messbarkeit einer Funktion ist eben auch nur in vollständigen Maßräumen ein "Oberbegriff" für Lebesgue-integrierbar Funktionen. Für nicht notwendig vollständige Massräumen muss man den Begriff der Messbarkeit allgemeiner fassen. Es gilt in Maßräumen, die $A$-Messbarkeit (das Urbild jeder Menge aus der Borel-Algebra ist ein Element der $\sigma$-Algebra $A$) ist äquivalent zur sogenannten starken Messbarkeit (die Funktion ist punktweiser Grenzwert von einfachen Funktionen). Wie man im Artikel des Bochner-Integral (eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integral) sieht, ist jede integrierbare Funktion punktweiser Grenzwert von einfachen Funktionen $\mu$-fast überall also nicht unbedingt stark messbar und damit nicht unbedingt $A$-messbar.

Man müsste also für nicht notwendig vollständige Maßräume die $A$-Messbarkeit durch die bei der Bochner-Integration verwendeten $\mu$-Messbarkeit ersetzen. (nicht signierter Beitrag von Jfriedpi (Diskussion | Beiträge) 13:15, 8. Feb. 2014 (CET))

Puh, langsam stellt sich für mich die Frage, warum man denn das alles muss oder müsste. Warum nicht einfach den Artikel so lassen, wie er ist? Noch ein oder zwei Einzelnachweise von Literaturstellen, die den Satz genauso formulieren, dazu und gut isses? Wenn im Artikel erst mal Vollständigkeit, Äquivalenzklassen und verschiedene Messbarkeitsbegriffe diskutiert würden, wäre das völlig verwirrend und mMn ohne echten Nutzen. -- HilberTraum (Diskussion) 16:20, 8. Feb. 2014 (CET)

Der Satz so wie er jetzt vorliegt ist ja nicht falsch. Man sollte aber eben nur so wenig wie möglich Voraussetzungen an die Grenzfunktion machen. Aber seis drum. In manchen Skripten steht er ja auch genau so drin. :-)Jfriedpi (Diskussion) 22:05, 8. Feb. 2014 (CET)

Nochmal meine Meinung zu dem Thema: Wir könnten ja einen Absatz unter den Satz stellen, der den Namen "Zur Messbarkeit der Grenzfunktion" oder so ähnlich trägt, wo wir reinschreiben, dass

1. die Messbarkeit (also im Sinne messbarer Räume, also Urbilder von Elementen der einen Sigma-Algebra sind Elemente der anderen Sigma-Algebra nicht automatisch gegeben ist (eventuell mit dem schönen Gegenbeispiel von HilberTraum von oben), dass aber

2. Messbarkeit der Grenzfunktion automatisch vorliegt, z.B. wenn der Maßraum vollständig ist (was er bei vielen Integrationstheorie-Ansätzen automatisch ist) oder wenn

3. die Funktionenfolge überall punktweise (und nicht nur punktweise fast überall) konvergiert oder wenn

4. man nur Äquivalenzklassen von Funktionen anschaut, weil dann f eventuell zwar nicht messbar sein muss, aber es genau eine Äquivalenzklasse von messbaren Funktionen gibt, die dann mit f fast überall übereinstimmt - oder anders formuliert: Wenn ich nur an den Banachräumen L^p interressiert bin, ist es herzlich egal, ob ich vorher meinen Maßraum vervollständigt habe.

Also kurz gesagt: Eine Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse dieser Diskussion auf der Artikelseite. Denn die Verwirrung wird ansonsten wiederkommen, weil es nunmal viele Bücher gibt, die Funktionen auf beliebigen (nicht vollständigen) Maßräumen integrieren und andere, die vom Zugang her alles immer vervollständigt haben. Man muss halt aufpassen, dass der Leser des Artikels nicht denkt, dies wäre ein wesentlicher Teil der Materie, denn eigentlich ist es ja mehr oder weniger nur Haarspalterei...

Falls gewünscht kann ich mir gerne einen solchen Absatz aus den Fingern saugen, ich kann aber auch ohne ihn leben. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 15:13, 10. Feb. 2014 (CET)

A oder phi

Es ist ziemlich egal, ob die sigma-Algebra A oder phi heißt, aber man sollte immer den gleichen Namen verwenden...--Cosine 10:17, 24. Jan. 2010 (CET)

mMn ist schon ein Unterschied. φ ist das Maß, A die Sigma-Algebra. Bei fast-überall zumindest geht es um Mengen vom Maß null, da ist φ also auf jeden Fall sinnvoller. Bei Messbarkeit bin ich mir nicht sicher, ob für den Begriff nicht schon A ausreicht. Die Literatur, die ich da habe (Amann/Escher) verwendet jedenfalls auch φ-messbar (bzw dort µ-messbar) -- Pberndt _(DS) 10:56, 24. Jan. 2010 (CET)

_{phi ist ein Maß und A die sigma-Algebra. Messbarkeit wird ausschließlich über die sigma-Algebra definiert! Mag ja sein, dass in einigen Bücher von phi-messbaren Funktionen die Rede ist aber eigentlich ist das falsch und verwirrt nur unnötig (siehe zum Beispiel Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie). (nicht signierter Beitrag von 89.0.190.50 (Diskussion | Beiträge) 14:19, 24. Jan. 2010 (CET))}

Intuitiv ist mir das unklar. Ein sehr grobes Maß hat doch nicht dieselben messbaren Mengen wie ein sehr feines? Ich habe das mal so gelernt: Messbarkeit ist nach Caratheodory definiert. Die bezüglich eines gebebenen äußeren Maßes messbaren Teilmengen der Potenzmenge von Ω bilden eine σ-Algebra und das Maß eingeschränkt auf diese ist dann ein vollständiges Maß. Sprich ${\mathcal {A}}$ hängt im Allgemeinen vom verwendeten Maß ab. Und damit würde "abhängig von ${\mathcal {A}}$" auch immer "abhängig von φ" implizieren. -- Pberndt _(DS) 14:56, 24. Jan. 2010 (CET)

Hallo Pberndt, Messbarkeit ist zunächst eine Eigenschaft die wirklich nur von der sigma-Algebra abhängt (siehe Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Messbare_Funktion). In diesem Fall ist der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\varphi )$ also ${\mathcal {A}}$ die Sigma-Algebra. Im Allgemeinen geht bei der Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen folgendermaßen vor. Zunächst definiert man sich zu einer gegebener Ergebnismenge $\Omega$ eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ von messbaren Mengen. Danach konstruiert man sich ein Maß $\varphi$, dass jeder messbaren Menge ein "Volumen" zuordnet. Weil es im Allgemeinen in Ding der Unmöglichkeit ist jeder messbaren Mengen ein vernünftiges Maß zuzuordnen definiert man zunächst das Volumen von einfachen Mengen wie Rechtecken. Die Menge der Rechtecke ist aber keine $\sigma$-Algebra sondern nur ein Semi-Ring. Der Satz von Caratheodory besagt nun, dass wir das Prämäß, dass wir auf der Menge der Rechtecke definiert haben zu einem Maß auf der von den Rechtecken erzeugten $\sigma$-Algebra fortsetzen können. Die von den Rechtecken erzeugte $\sigma$-Algebra ist im reellen Fall aber gerade die Borelsche $\sigma$-Algebra. Du siehst also, dass das Maß nichts über die messbaren Mengen aussagt. Auch wenn ich die ganze Zeit von Wahrscheinlichkeitsräumen geredet habe gilt alles auch für Maßräume. Ich werde mich heute noch anmelden, damit ich richtig mitdiskutieren kann. Beste Grüße Wandfliese (15:18, 24. Jan. 2010 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Ah, das klingt dann danach, als könne man die ganze Nummer von zwei Seiten aufziehen?! Entweder man startet mit einem äußeren Maß und Messbarkeit nach Carathéodory und wählt dann als σ-Algebra alle Mengen, die messbar sind, oder aber man startet mit einer σ-Algebra, nennt die Mengen darin messbar und baut sich darauf ein Maß. Ich habe das hier gerade in Maßtheorie gefunden:

Dabei ist zu beachten, dass man in der Maßtheorie zum einen von der Messbarkeit bezüglich eines Messraumes und zum anderen von der Messbarkeit nach Carathéodory bezüglich eines äußeren Maßes spricht. Letztere kann man aber äquivalent als Messbarkeit bezüglich des durch das äußere Maß induzierten Messraumes betrachten.

Das untermauert diese Vermutung?! Ich muss zugeben, noch nie ernsthaft mit anderen Maßen als denen von Lebesgue und Hausdorff und auch noch nie mit etwas anderem als der Borel-σ-Algebra gerechnet zu haben, daher mangels Übung die vielleicht dummen Fragen... Jedenfalls ist dann natürlich gegen A-messbar nichts einzuwenden. -- Pberndt _(DS) 15:48, 24. Jan. 2010 (CET)

Auf jeden Fall wird die Messbarkeit nicht über das Maß $\varphi$ sondern die $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ definiert. Wenn Cosine diesmal nichts einzuwenden hat würde ich den Artikel entsprechend abändern. Beste Grüße -- Wandfliese 20:18, 25. Jan. 2010 (CET)

Irgendwie finde ich das sehr verwirrend. In meiner Analysis 3-Vorlesung hat der Prof. es sogar geschafft Lebesgue-messbar zu definieren ohne den Begriff der Sigma-Algebra zu verwenden. So verstehe ich nicht ganz, wie dann die Sigma-Algebra die Messbarkeit definiert. Vielleicht muss ich da einfach mal noch einiges nachlesen. --Christian1985 01:09, 26. Jan. 2010 (CET)

Okay, ich geb zu, ich hab die Änderung von phi in A-messbarkeit zu schnell rückgängig gemacht, ohne zuviel darüber nachzudenken. Und das obwohl ich mich eigentlich selbst manchmal über Leute, die einfach reverten, ohne genau zu lesen, aufrege... Entschuldigt also vielmals meine Änderung. Ja, die Messbarkeit hängt nur von der Sigma-Algebra ab. In diesem Sinne wäre A-messbar sinnvoll. Fakt ist, dass auch "phi-messbar" verwendet wird, was ja auch möglich ist, denn wenn man das Maß phi angibt, hat man damit ja insbesondere auch den Definitionsbereich von phi, also A. Also: Inhaltlich ist wohl beides korrekt. Aber A-messbar ist irgendwie konsequenter. Viele Grüße, --Cosine 14:57, 26. Jan. 2010 (CET)

Damit hast du natürlich Recht. Ich habe diesen "Fehler" auch erst beim dritten Durchgang überhaupt bemerkt. In diesem Fall sollte man besser "${\mathcal {A}}$-messbar" schreiben, da diese Formulierung erst gar keine Verwirrung stiften kann. Zum anderen wird das Schriftbild auflockert indem man sich von ein paar der $\phi$ entledigt. ;-) Ich werde den Artikel entsprechend abändern. Beste Grüße -- Wandfliese 23:09, 27. Jan. 2010 (CET)

Anpassung des Satzes an das Bochner-Integral

Hallo,

ist es genehm, wenn ich den Artikel bezüglich der Gültigkeit für Bochner-Integrale anpasse? Jfriedpi (Diskussion) 20:18, 30. Jan. 2014 (CET)

Was meinst du konkret mit "anpassen"? Ergänzen? Oder umschreiben? --Digamma (Diskussion) 20:29, 30. Jan. 2014 (CET)

Hm, ich denke Ergänzen wird wohl die bessere Alternative sein. Obwohl der Satz für $\mathbb {R}$-wertige Funktionen einfach nur ein Spezialfall für Banachraum-wertige Funktionen darstellt. Ich wollte den Artikel eigentlich zuerst umschreiben, aber das könnte die Leser vielleicht verwirren, wenn sie nur den allgemeineren Satz hier vorfinden.Jfriedpi (Diskussion) 22:12, 30. Jan. 2014 (CET)

Der neue Beispielabschnitt

Hier fehlt doch noch die eigentliche Majorantenbedingung für die Ableitung, siehe Parameterintegral#Differenzierbarkeit von Parameterintegralen. Entsprechend kann wohl auch die „Beweisskizze“ nicht ganz klappen: Was soll denn bei einer Funktionenfolge ein „betragsmäßig maximales Glied“ sein? -- HilberTraum (Diskussion) 19:04, 13. Mai 2014 (CEST)

Stimmt, man braucht noch eine Forderung an die Ableitung. Wäre es in Ordnung wenn ich ihre Integrierbarkeit voraussetze? Die ist im Kontext von Anwendungen wahrscheinlich eher gegeben als ihre Majorante. Die Majorante der gesamten Folge ist dann entweder die Ableitung oder das Folgenglied mit der größten L1-Norm (was ich sehr ungenau mit "betragsmäßig maximal" gemeint hatte). Das O2 (Diskussion) 12:19, 17. Mai 2014 (CEST)

Nein das reicht nicht, die Folge muss schon wie im Satz formuliert fast überall punktweise majorisiert werden. Schau dir z. B. die Folge $f_{n}(x)={\frac {n}{n^{2}+x^{2}}}$ für $x\in \mathbb {R}$ an. Alle Glieder haben die gleiche L1-Norm, aber trotzdem kann man bei $\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\,dx$ den Limes $n\to \infty$ nicht unters Integral ziehen. -- HilberTraum (Diskussion) 18:53, 17. Mai 2014 (CEST)

Beachte, dass bei der hier verwendeten Definition von Integrierbarkeit der Wert $\infty$ ausgeschlossen ist, das heißt $\textstyle \int _{\Omega }|g|\,d\mu <\infty$.

Die Betragsstriche sind hier eigentlich überflüssig, denn g muss ja wegen $\vert f_{n}\vert \leq g$ ohnehin nichtnegativ sein.—Ilse Ongkim (Diskussion) 00:15, 17. Jun. 2024 (CEST)